解決

PIPESTATUS変数 を使用する

$ false | tee -a '/tmp/test' && if [ "${PIPESTATUS[0]}" -eq 0 ]; then true; else false; fi
$ echo $?
1

$ true | tee -a '/tmp/test' && if [ "${PIPESTATUS[0]}" -eq 0 ]; then true; else false; fi
$ echo $?
0

ShellScript Bash 終了コード で 詰まったところ - Qiita